수학 - 자이스토리 1등급 고난도 스토리 197번

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A197. 실수 전체의 집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 n(A) = 5, B={ ( x + a ) / 2 | x ∈ A}이다.
두 집합 A, B가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 a의 값을 구하시오. (4점)

(가) 집합 A의 모든 원소의 합은 28이다.
(나) 집합 A ∪ B의 모든 원소의 합은 49이다.
(다) A ∩ B = {10, 13}

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이 문제는 1등급 킬러 태그가 붙어있는 문제였지만 제일 쉬웠다.

일단 집합 A의 원소의 개수가 주어졌으므로 A를 {a1, a2, a3, a4, a5}의 집합으로 나타내봤다.
이렇게 나타냈더니 조건 (가)로 인해 a1+a2+a3+a4+a5 = 28이라는 수식을 사용할 수 있게 되었다.

그 이후, 문제에 나와있는대로, 집합 B를 { ( a1 + a ) / 2 , ( a2 + a ) / 2 , ( a3 + a ) / 2 , ( a4 + a ) / 2 , ( a5 + a ) / 2 }로 나타내고 조건 (나)를 조건 (다)와 함께 이용해보았다.
일단 조건 (나)를 이용하기 위해서 집합 A와 집합 B를 싸그리 더하고, 조건 (다)에서 겹치는 원소가 10, 13이라고 했으므로 더한 값에서 23을 뺀 값이 49가 되어야한다는 점을 이용해 수식으로 나타내보았다.

a1+a2+a3+a4+a5+{(a1+a2+a3+a4+a5)+5a}/2 = 72

그 후, a1+a2+a3+a4+a5 부분에 조건 28을 대입하고, 전개했더니 a가 12가 나오게 되었다.